Rotacionais e Divergências (II) - Decomposição de Helmholtz

Por sinal, o problema tem uma solução visível, notável... quero com isto dizer que pensava que o problema partia de alguma incompreensão fundamental minha, qualquer coisa básica que me tinha escapado e que eu seria supostamente capaz de fazer com as bases que tinha. Tinha razão, mas não da forma como esperava... o que me faltava era saber da existência do Teorema Fundamental do cálculo vectorial ou de Helmholtz. Um teorema fundamental pelos vistos, mas que me lembre, nunca dei na escola:

O Teorema Fundamental do cálculo vectorial afirma que qualquer campo vectorial suficientemente suave que decaia rapidamente no espaço, pode ser decomposto na soma de um campo não rotacional (rotacional zero) e de um campo solenoidal (divergência zero). Ressalvadas as devidas condições necessárias (campo duplamente diferenciavel), a decomposição de Helmholtz é a igualdade:

`bb F = - bb nabla cc G (bb(nabla F)) + bb nabla bb xx cc G (bb(nabla xx F))`

onde `cc G` é o operador potencial newtoniano, que para o espaço tridimensional se escreve:

`cc G(f(x))=1/(4pi) int f(x')/|x-x'| d^3x'`

A aplicação deste operador à divergência e rotacional do campo produz respectivamente o potencial escalar que gera o campo:

`phi = cc G (bb(nabla F))`

e o potencial vectorial:

`bb A = cc G (bb (nabla xx F))`.

de forma que a decomposição de Helmholtz se escreve

`bb F = - bb nabla phi + bb nabla bb xx bb A`

A dedução deste teorema pode ser encontrada no livro do Alan C. Tribble, Princeton Guide to Advanced Physics, entre outros. Logo, se soubermos o rotacional e a divergência do campo, podemos calcular o seu valor em todos os pontos do espaço. E porque é que o campo deveria decair no infinito? Só posso inferir que se trata de uma forma de garantir que `cc G (bb(nabla F))` e `cc G (bb(nabla xx F))` são finitos.

que tal?

Parece bom... mas não será um bocadinho curto demais?

Curto? Acho que é grande demais. Eu não sou ele...

Por isso mesmo...

Achas que vale a pena ocupar um blog que dá trabalho?

...hmmm....

Bem parecia.